lemehaute06-COLLOQUE

Il existe un lien direct entre la dynamique de processus intrinsèquement simples en géométries fractales et les équations différentielles d’ordre fractionnaire. Ce sont entre autres les géométries fractales qui ont permis dès 1977 de pointer l’importance de ce type d’équation pour le traitement des systèmes récursifs et d’en donner par ailleurs une interprétation analytique en terme de théorie des distributions. Cette analyse a largement été confirmée par l’expérience en dépit de réserves toujours vivantes.

L’importance de l’interprétation géométrique n’est pas plus dans les réserves formulées que dans l’usage qui est fait du concept de fractalité pour biaiser les équations différentielles d’ordre entier. Elle est plutôt dans la capacité de projections scientifiques qu’autorise l’interprétation géométrique des équations différentielles fractionnaires. Nous illustrerons notre propos au moyen de trois exemples à notre sens emblématiques.

D’une part la réponse dynamique des processus browniens fractionnaires plongés dans des géométries fractales.

D’autre part l’ouverte que propose la thermodynamique statistique fractionnaire pour des processus stationnaires ou de «méta équilibres» dans des environnements complexes.

Enfin la perspective tracée par l’interprétation de la conjecture de Riemann en terme de piégeage de phase associé à l’opérateur d’ordre 1/2.

L’auteur souhaite remercier L. Nivanen et A. El Kaabouchii pour leur collaboration aux recherches évoquées.