chevalier06-COLLOQUE

Identification : la dérivée fractionnaire dans le comportement vibratoire
des matériaux et structures

Yvon CHEVALIER
Équipe Vibroacoustique du LISMMA, Institut Supérieur de Mécanique de Paris (ISMEP - SUPMECA), Saint-Ouen
Tibi BEDA
National Advanced School of Engineering of University of Yaounde I (ENSP), Cameroun

L’amortissement dans les matériaux est une source non négligeable de dissipation d’énergie vibratoire dans les structures, les micro-frottements au sein des liaisons assurant un complément comparable. Si l’amortissement spécifique (rapport de l’énergie dissipée sur un cycle à l’énergie fournie) reste une approche globale très générale du phénomène, il n’intègre pas les mécanismes intimes du phénomène de dissipation qui peuvent être développés à partir de la physique de la structure vibratoire. Une modélisation globale de la dissipation par l’amortissement visqueux (dépendance de la vitesse) permet de représenter la physique de manière réaliste et efficace. Le problème d’identification (choix du modèle, paramétrique ou non paramétrique) est alors ouvert : recalage des paramètres dans les modèles paramétriques.
Dans le domaine des matériaux, l’approche viscoélastique (linéaire ou non) est très adaptée à la modélisation des phénomènes d’amortissement (cf. [1], [2] et [3]).
  • Elle permet de globaliser tous les phénomènes dissipatifs élémentaires,
  • elle est compatible avec la thermodynamique des milieux continus et facilite l’introduction de variables internes permettant d’interpréter les phénomènes physiques, (cf [4]),
  • elle est le siège de nombreux modèles paramétriques performants (opérateurs différentiels, modèles rhéologiques),
  • son formalisme rigoureux rentre dans le cadre de l’utilisation d’outils mathématiques adaptés.
    • L’approche paramétrique ajustée sur des résultats expérimentaux (cf. [5], [6]) par la dérivée fractionnaire, permet de modéliser de manière économique les matériaux dans une large gamme de fréquences (cf. [7], [8] et [9]). La dérivée fractionnaire recalée en régime fréquentiel autorise un passage en régime temporel respectant les lois de la physique (principe de causalité par exemple). L’approche du comportement viscoélastique paramétrique par dérivée fractionnaire sera illustrée par des méthode récentes d’identification des paramètres à partir de résultats expérimentaux sur plusieurs matériaux.

    Références

    [1] R.M. Christensen, Theory of viscoelasticity : An introduction, Academic Press, New York, 1971.
    [2] J.C. Simo, T.J.R. Hughes, Computational inelasticity, Springer, New York, 1998.
    [3] D.I. Jones, Handbook of viscoelastic vibration damping, John Wiley & Sons, New York, 2001.
    [4] A. Hanyga, An anisotropic Cole-Cole viscoelastic model of seismic attenuation, Journal of Computational Acoustics, 11, 75-90, 2003.
    [5] M. Soula, Y. Chevalier, La dérivée fractionnaire en rhéologie des polymères - Application aux comportements élastiques et viscoélastiques linéaires des élastomères. ESAIM : Proceeding Fractional Differential Equation : Models, Methods and Applications, 5, 193-204, 1998.
    [6] M. Soula, Y. Chevalier, Transient responses of polymers and elastomers deduced from harmonic responses, Journal of Sound and Vibration, 205, 185-203, 1997.
    [7] T. Beda, Y. Chevalier, New methods for identifying rheological parameters for fractional derivative modelling of viscoelatic behaviour, Mechanics of time dependent Material, 8, 105-118, 2004.
    [8] T. Beda, Y. Chevalier, Identification of viscoelastic fractional complex modulus, AIAA Journal, 42 (7), 1450-1456, 2004.
    [9] R.L. Baglet, P.J. Torvik, Fractional calculus - A different approach to the analysis of viscoelastic damped structures, AIAA Journal, 21 (5), 741-748, 1983.