matignon06-COLLOQUE

Définitions de base

Denis MATIGNON
Département Traitement du Signal et des Images (TSI), CNRS UMR 5141,
École Nationale Supérieure des Télécommunications (ENST), Paris

Nous donnons quelques exemples d’application de la dérivation fractionnaire désormais classiques, puis nous rappelons brièvement des références théoriques. Cette courte page est extraite essentiellement du chapitre de livre [36], dont la version anglaise est à paraître [39].

1) Champs d’application

La modélisation de certains phénomènes physiques, dits à mémoire longue peut s’effectuer par l’introduction de termes intégro-différentiels à noyau faiblement singuliers (c’est-à-dire localement intégrables, mais pas nécessairement continus, comme t^α−1 lorsque 0<α<1) dans les équations de la dynamique des matériaux ; ceci est très fréquent en viscoélasticité linéaire à mémoire longue par exemple, où une relation contrainte–déformation dynamique fractionnaire peut être proposée : voir [6] pour la viscoélasticité, [25] et [26] pour une présentation un peu plus formalisée, [2] pour un exemple riche et bien détaillé, [3] pour une analyse modale en régime forcé ou [5] pour une analyse modale en régime transitoire, et enfin [8] pour une modélisation qui fait intervenir une équation aux dérivées partielles avec dérivée fractionnaire en temps. Il existe également des applications à la modélisation en chimie des polymères [4] ; ou à la modélisation de dynamiques à l’interface de structures fractales : voir [47] pour l’aspect physique appliquée, et par exemple [20] pour l’aspect physique théorique. De plus, la dérivation fractionnaire peut apparaître naturellement lorsqu’un phénomène dynamique est fortement conditionné par la géométrie du problème : un exemple simple, très instructif, est présenté dans [66]. Nous conseillons tout particulièrement l’ouvrage [9] pour de nombreux exemples en mécanique des milieux continus. Les références [18, 31, 40, 33, 41, 57, 37, 23] montrent une modélisation de phénomènes viscothermiques en acoustique. Enfin, l’ouvrage [56] présente de nombreuses applications en sciences pour l’ingénieur.

2) Théories

La théorie de la dérivation fractionnaire remonte à plusieurs siècles déjà : un exposé historique détaillé est donné en introduction de [53] ; de plus, cet ouvrage est sans doute l’un des premiers à rassembler des résultats épars. Récemment, une synthèse théorique a été proposée dans [48], où certains aspects algébriques des équations différentielles fractionnaires d’ordre rationnel sont complètement développés. Sur le plan mathématique, l’ouvrage russe [61] fait autorité ; il regroupe un ensemble de définitions et de théories absolument unique. Notons que la modélisation par dérivation fractionnaire sera facilitée au lecteur qui connaîtra les bases de la théorie des distributions (voir notamment [62, 21, 19]), le calcul des résidus pour les fonctions de la variable complexe (voir [17, 10, 27, 16]), et qui aura une certaine connaissance des fonctions spéciales de la physique théorique ([49, 7, 28, 16]). Concernant les opérateurs pseudo-différentiels, nous citerons [65, chapitre 7], et pour la notion de représentation diffusive, le premier article à notre connaissance sur le sujet est [64, § 5], qui utilise des notions déjà présentes dans [15] ; ces dix dernières années, la thématique s’est beaucoup développée, et on pourra consulter notamment l’ouvrage [44], pour le cadre théorique général et de nombreuses applications.

3) Plan de l’exposé

1. Définitions temporelles : nous distinguerons, en prenant soin de les relier, les définitions de Caputo, de Riemann & Liouville et celle de Schwartz.
2. Définitions fréquentielles : nous examinerons la transformée de Laplace, celle de Fourier et les diagrammes de Bode correpondants de l’intégrateur et du dérivateur fractionnaires.
3. Fonctions propres de Mittag-Leffler : nous montrerons que ces fonctions jouent le même rôle, fondamental, que la fonction exponentielle pour les équations différentielles ordinaires, car elles nous permettront de résoudre les équations différentielles fractionnaires linéaires et à coefficients constants, en distinguant la réponse libre de la réponse forcée. Nous donnerons la condition nécessaire et suffisante de stabilité due à Matignon [32, 34] et analyserons des exemples d’oscillateurs 1-D avec amortissement fractionnaire, illustrés par des simulations numériques.
4. Représentation diffusive : pour finir, nous présenterons brièvement la réponse impulsionnelle, la réponse fréquentielle et le système dynamique associés au multimode apériodique toujours présent dans les systèmes fractionnaires. Nous montrerons comment un simple bilan d’énergie permet d’envisager l’analyse d’oscillateurs 1-D avec amortissement non-standard (exemple d’ordres de dérivations non rationnels, ou de dérivateurs fractionnaires non idéaux, par exemple bornés en fréquences, ...). Nous citerons à titre d’exemples les modèles de l’électromagnétisme : Debye ou Maxwell, Cole-Cole, Davidson-Cole, Havriliak-Negami qui, tous, sont diffusifs sans être, stricto sensu, fractionnaires.

Références